استنباط قاعدة للتكامل العددي

للتكامل , العديد , استنباط , قاعدة

استنباط قاعدة للتكامل العددي

حمل المرجع كاملاً من المرفقات

فؤاد حمزة عبد الشريفي ابتسام عبد الواحد الجزائري صابرين حاكم ملك

كلية العلوم-جامعة بابل

fouadhamza55@yahoo.comibtisamalasady1@yahoo.comsabrinahakim54@gmail.com

الخلاصة
الهدف الرئيس من هذا البحث هو استنباط قاعدة جديدة لإيجاد قيم التكاملات الأحادية المحددة عددياً لدوال مستمرة، ومع كونها مستمرة فهي معتلة المشتقة أو معتلة في نقطة واحدة أو أكثر من منطقة التكامل .وتم ايجاد صيغ الخطأ لها إذ قمنا باستنتاج هذه الطريقة من قاعدتي شبه المنحرف و سمبسون. فضلا عن ذلك، تم تحسين النتائج بالاعتماد على حدود التصحيح وباستعمال تعجيل رومبرك، فتوصلنا إلى انه يمكننا الاعتماد على هذه الطريقة في حساب التكاملات المحددة، حيث أعطت دقة عالية في النتائج بفترات جزئية قليلة نسبياً مقارنة مع قاعدة شبه المنحرف .
الكلمات المفتاحية: تكاملات أحادية، تعجيل رومبرك، صيغ الخطأ، قاعدة شبه المنحرف.
Abstract
The main objective of this research is, to devise a new **** to find a single integrals numerically specified values of continuous functions, continuous but diseased derivative or diseased in one or more points of integration area. It also found fault with formulas, as we have the conclusion of this method of trapezoidal and Simpson ****s. In addition, the results have been improved ****d on the boundaries of the patch and using accelerate of Romberg, so we concluded that it can rely on this method of integrals specific account, where given the relatively high accuracy results in a few partial periods compared with the trapezoidal rule.
Keywords: single integrals, accelerate of Romberg, fault with formulas, trapezoidal rule.

-1المقدمة
التّحليل العدديّ ومنه التكامل العددي هو أحد فروع الرّياضيات الذي يربط بين الرياضيات التحليلية و الحاسب الآلي. و للتكامل العددي أهمية كبيرة في التطبيقات الهندسية والفيزيائية.ففي الآونة الأخيرة استخدام التكامل العددي في طب الأسنان حيث استخدم أطباء الأسنان بعض الطرائق العددية لإيجاد المساحة السطحية للمقطع العرضي لقناة جذر السن. واستخدم الباحثون الكثير من الطرائق العددية المختلفة لحساب قيم التكاملات الأحادية والمـحددة في فـترات تكاملها وحسنوا النتائج بطرق تعجيلية متعددة .عادة ما نحصل على نتيجةٍ تقريبيّة أو حل تقريبي باستخدام هذه الطرق .وهذا يعني وجود نسبة خطأ علينا حسابها، إذًا تتلخّص مهمّة التحليل العددي عموما والتكامل العددي على وجه الخصوص في إيجاد الحل التقريبي لمسألة ما و تقويم الخطأ. وبما إن ذاكرة الحاسوب لا يمكنها تخزين أو تمثيل الأعداد فيها بشكل كامل نظرا لمحدوديتها . لذلك وجب علينا بناء طرائق عددية لإيجاد نواتج صحيحة بأقل عدد ممكن من المراتب ، أي بأقل عدد ممكن من البتات.
-2 استنباط القاعدة الجديدة لحساب التكاملات العددية.
سنستنبط القاعدة من قاعدتي شبه المنحرف وسمبسون وذلك بإيجاد الوسط الحسابي للقاعدتين وكما يلي :
نص قاعدة شبه المنحرف

أما نص قاعدة سمبسون:

و عدد الفترات الجزئية من الفترة

حيث:
وصيغة الخطأ في قاعدة شبه المنحرف بالنسبة للدوال المستمرة في فترة التكامل هي على التوالي



حيث ثوابت .
أما صيغة الخطأ بالنسبة للدوال المستمرة ولكنها معتلة المشتقة أو الدالة المعتلة عند النهاية السفلى أو العليا لفترة التكامل فهي:
صيغة الخطأ بالنسبة للدوال المستمرة والمعتلة المشتقة أو الدالة ذاتها معتلة عند النهايتين السفلى و العليا لفترة التكامل فهي :

والآن من اجل استنباط القاعدة الجديدة نأخذ الوسط الحسابي للقاعدتين فنحصل على:


ملاحظات:
1. إن صيغ الخطأ بالقاعدة الجديدة لا تختلف عنها في قاعدة شبه المنحرف.
2. سنهمل قيمة الدالة عند نقطة الاعتلال.
3. استعملنا لغة الماتلاب لبناء برنامج المحاكاة .


-3 تعجيل رومبرك
إذا كانت كل من و قيمتين تقريبيتين متتاليتين للتكامل المحدد في احدى القواعد المذكورة وكانت حدود التصحيح هي:
فإننا نجد قيمة تقريبية جديدة ونضعها في العمود الجديد عندما وثم نكون عمود ثالث عندما وذلك بأخذ قيمتين تقريبيتين متتاليتين من العمود الثاني وهكذا

الصيغة هي صيغة تعجيل رومبرك
إنّ القيمة النهائية من جدول رومبرك تتحدد تبعاً للدقة المطلوبة التي نسميها والتي يكون فيها الخطأ النسبي كالآتي :

إذ قيمتان تقريبيتان للتكامل المحدد بإحدىٰ القواعد المذكورة.
-4الأمثلة

ت

التكامل

القيمة الحقيقية مقربة لثلاث عشرة مرتبة عشرية

1

0. 3862943611199

2

1.0471975511965

3

0. 11111111111111

4

1. 33333333333333

5

0. 39269908169897

-5 خوارزمية العمل
الشكل التالي يوضح الخوارزمية التي استنبطت لتنفيذ فكرة البحث.

a;b;R=1 (initialization of integral's limits)

for j=1:8

n=2^j

h=(b-a)/n;sum1=0;sum2=0;

for i=1:2:(n-1)

sum1=sum1+((a+i*h)-(a+i*h)^2)^.5

end

for i=2:2:(n-2)

sum2=sum2+((a+i*h)-(a+i*h)^2)^.5

end

f1=5*((a-a^2)^.5+(b-b^2)^.5)

f2=(14)*sum1

f3=(10)*sum2

I=h/12*(f2+f3)

FC=I

R=R+1;

end

k=[k's values];k1=2

for i=2:8

G(k1,1)=((2^k)*(FC(i))-FC(i-1))/((2^k)-1)

k1=k1+1

end

المصدر: ملتقى شذرات